Wikipedista:Jirka Fiala/Pískoviště - de

definice

Pro všechny matrice $A\in K^{m\times n}$ s $m\geq n$ je nazýván $\operatorname {Gram} (A)=\det(A^{T}A)$ Gramův determinant. Platí následující: $\operatorname {Gram} (A)$ je pro $K=\mathbb {R}$ nikdy negativní a přesně tehdy $0$, pokud $\operatorname {rang} A<n$, takže pokud sloupce z $A$ jsou lineárně závislé . Gramův determinant lze také zapsat podle Binet-Cauchyho věty jako součet přes druhou mocninu všech maximálních minorů.

Gramova matice

Pro $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ jsou záznamy matice $A^{T}A=:M$ kanonické bodové součiny sloupců $A$ . Zvažte následující zobecnění:

Buď na jednom $n$ -rozměrný K-vektorový prostor $V$ se základnou $(v_{1},..,v_{n})$ bilineární forma $\langle \cdot ,\cdot \rangle \colon V\times V\to K,\quad (v,w)\mapsto \langle v,w\rangle$ Jsou definovány. Pak se tomu říká matice

$M:={\begin{pmatrix}\langle v_{1},v_{1}\rangle &\cdots &\langle v_{1},v_{n}\rangle \\\vdots &&\vdots \\\langle v_{n},v_{1}\rangle &\cdots &\langle v_{n},v_{n}\rangle \end{pmatrix}}$

což vede k bilineární formě $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ odpovídající Gramova matice nebo reprezentující matici bilineární formy. Ten je zcela určen vstupy Gramovy matice. Bilineární forma $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ je bodový produkt tehdy a jen tehdy $M$ je symetrický a kladně určitý .

Je $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ bodový produkt, $v_{1},\dots ,v_{n}$ libovolnou sadu vektorů $V$, tak se tomu říká $M$ jako Gramova matice $v_{1},\dots ,v_{n}$ . Důležitou aplikací je v tomto případě kritérium lineární nezávislosti: vektory jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když jejich Gramův determinant (determinant Gramovy matice) není nulový. Vzhledem k tomu, že Gramův determinant je v tomto případě nezáporný, lze odmocnit z něj a skrz

$\operatorname {Vol} (v_{1},\dotsc ,v_{n}):={\sqrt {\det(M)}}$

a $n$ -rozměrný objem průchodu $v_{1},\dots ,v_{n}$ vysvětlit upnutý rýč .

Viz také

• Spat product#Double spat product

[[Kategorie:Matice]] [[Kategorie:Lineární algebra]]