Wikipedista:Bluesun
Babylon – informace o uživateli | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ||||||||||
Wikipedisté podle jazyka |
Studium[editovat | editovat zdroj]
Metody řešení úloh[editovat | editovat zdroj]
Teorie čísel[editovat | editovat zdroj]
Volitelná Davydov, Znám[editovat | editovat zdroj]
- 210
Nájdite celé čísla x, pre ktoré je x² + 5x - 12 násobkom 6.
- Řešení
Řešíme rovnici x² + 5x - 12 = 6y, kde x a y jsou celá čísla. Jedno z řešení je x0 = 0, y0 = -2. Na základě tohoto řešení určíme zbylá řešení (x, y) podle vzorce (x0 + km, y0 + 2amx0 + akm² + bm) pro libovolné m. V naší úloze jsou tedy řešení tvaru x = 6m, y = 6m² + 5m - 2.
Volitelné Herman[editovat | editovat zdroj]
- 1.13. i
Pro libovolné nalezněte největší společné dělitele čísel :
- Řešení
Použíjeme euklidův algoritmus:
Největší společná dělitel čísel je .
- 2.8. i
Nalezněte všechna dvojciferná čísla, která se rovnají součtu číslice na místě desítek a druhé mocniny číslice na místě jednotek.
- Řešení
Sestavíme rovnici:
10A + B = A + B2
9A = B(B - 1)
Z této rovnice vyplívá, že 9|B(B-1). Protože B nabývá hodnot 0 až 9, zjistíme, že vyhovující B jsou 0, 1 a 9. Tato čísla dosadíme zpět do původní rovnice.
Pro B = 0 a B = 1 získáváme A = 0, pro B = 9 získáváme jediné řešení úlohy a to číslo 89.
Přidělené Brožura[editovat | editovat zdroj]
- 11
x(x + y) + z(x − y) = 6,
y(y + z) + x(y − z) = −2,
z(z + x) + y(z − x) = 3.
- Řešení
Z první a třetí rovnice získáme po úpravě rovnice
y(x - z) + x(x + z) = 6
-y(x - z) + z(x + z) = 3
Pokud rovnice sečteme a vytkneme x + z, získáme rovnici (x + z)² = 9. Z čehož plyne x + z = ±3.
Z první a druhé rovnice získáme po úpravě rovnice
z(y - x) + y(y + x) = -2
-z(y - x) + x(y + x) = 6
Pokud rovnice sečteme a vytkneme y + x, získáme rovnici (y + x)² = 4. Z čehož plyne y + x = ±2.
Z druhé a třetí rovnice získáme po úpravě rovnice
y(y + z) + x(y - z) = -2
z(y + z) - x(y - z) = 3
Pokud rovnice sečteme a vytkneme y + z, získáme rovnici (y + z)² = 1. Z čehož plyne y + z = ±1.
Řešíme tedy osm soustav tří rovnic pro tři neznámé. Získáme tak osm řešení:
- +++: x = 2, y = 0, z = 1
- -++: x = -1, y = 3, z = -2
- +-+: x = 0, y = -2, z = 3
- ++-: x = 3, y = -1, z = 0
- --+: x = -3, y = 1, z = 0
- -+-: x = 0, y = 2, z = -3
- +--: x = 1, y = -3, z = 2
- ---: x = -2, y = 0, z = -1
Zkouškou se snadno přesvědčíme, že všechna řešení vyhovují zadání původní rovnice.
- 45
Řešte pomocí vhodné substituce.
- Řešení
Zavedeme substituci y = x² + x a dále počítáme:
Z poslední rovnice plyne, že y = 0 a y = -5. Dosadíme zpět za y:
Z první rovnice plyne, že x = 0 a x = -1. Druhá rovnice nemá řešení na množině reálných čísel.
Rovnice[editovat | editovat zdroj]
d = 111
Derivace[editovat | editovat zdroj]
- I. 4
- řešení
- II. 4.
- řešení
Brožura[editovat | editovat zdroj]
- I. 2.
- řešení
- I. 34.
- řešení
- II. 2.
- řešení