Potenční množina
Potenční množina množiny (značí se nebo též ), podle některých autorů též booleán [1], je taková množina, která obsahuje všechny podmnožiny množiny .
Formálně vyplývá existence potenční množiny k libovolné množině z axiomu potenční množiny.
Každá podmnožina potenční množiny se nazývá systém množin na množině X.
Příklad[editovat | editovat zdroj]
Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]
Každá potenční množina obsahuje jako svůj prvek prázdnou množinu, tj.
Potenční množina množiny obsahuje jako svůj prvek, tj.
Na potenční množině je přirozeným způsobem definováno uspořádání pomocí relace „být podmnožinou“ . Toto uspořádání není lineární - například množiny a z předchozího příkladu jsou neporovnatelné. Potenční množina spolu s tímto uspořádáním tvoří strukturu nazývanou potenční algebra, která má řadu zajímavých vlastností - jedná se například o úplný svaz.
Mohutnost potenční množiny[editovat | editovat zdroj]
- Pokud je konečná množina a její mohutnost je , pak mohutnost její potenční množiny je . To lze odvodit například takto. Nechť množina . Potenční množina množiny je množina, pro kterou očividně platí rekurentní vztah . S použitím matematické indukce lze dojít k závěru, že spojujeme dvě stejně mohutné množiny, tj. mohutnost nové potenční množiny je .
- Pro nekonečné množiny platí podle Cantorovy věty, že mohutnost je ostře větší, než mohutnost . Z toho mimo jiné vyplývá, že škála mohutností nekonečných množin je nekonečná, protože mohutnost je ostře větší, než mohutnost atd.
Potenční množiny v modelech teorie množin[editovat | editovat zdroj]
Axiom teorie množin vyžaduje, aby soubor podmnožin nějaké množiny byl množinou, protože ale model nemusí obsahovat všechny možné podmnožiny, liší se v různých modelech i potenční množina nějaké množiny, a to i velikostí, a dokonce mohou mít při pohledu zvenku stejnou mohutnost (v modelu plati podle Cantorovy věty , což ovšem pouze znamená, že uvnitř modelu neexistuje mezi oběma množinami bijekce, tj. zmíněná bijekce není součástí uvažovaného modelu). Příkladem takového "omezeného" modelu je Gödelova konstrukce konstruovatelných množin.
Odkazy[editovat | editovat zdroj]
Reference[editovat | editovat zdroj]
- ↑ kolektiv autorů. Aplikovaná matematika. Praha: SNTL, 1978. 2386 s. (Oborové encyklopedie SNTL). S. 1957. (český)
Související články[editovat | editovat zdroj]
Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]
- Obrázky, zvuky či videa k tématu potenční množina na Wikimedia Commons