Descartesův list

Descartesův list

Descartesův list je algebraická křivka třetího řádu, která splňuje rovnici v kartézské soustavě souřadnic:

$x^{3}+y^{3}-3axy=0$ .

Parametr $3a$ je definován jako úhlopříčka čtverce, jehož strana se rovná délce největší tětivy smyčky.

Křivka tvoří smyčku v prvním kvadrantu s dvojitým bodem v počátku připomíná tvar listu po kterém byla pojmenována.

Její osou symetrie, je přímka o rovnici: $y=x$ .

Bod A se nazývá vrchol, jeho souřadnice $\left({\frac {3a}{2}},{\frac {3a}{2}}\right)$ .

Pro obě větve existuje asymptota $UV$, její rovnice: $x+y+a=0$ .

Plocha mezi oblouky $ACO$ a $ABO$ $S_{1}={\frac {3}{2}}a^{2}$

Plocha mezi asymptotou a křivkou se rovná ploše smyčky $\textstyle S_{2}=S_{1}={\frac {3}{2}}a^{2}$ .

Historie

Poprvé byla rovnice křivky studována R. Descartesem v roce 1638, ale vytvořil smyčku pouze v prvním souřadném úhlu, kde $x$ a $y$ jsou kladné hodnoty. Descartes věřil, že smyčka se opakuje symetricky ve všech čtyřech kvadrantech, ve formě čtyř okvětních lístků. V té době byla tato křivka nazývána jasmínovým květem.

Ve své moderní podobě byla tato křivka poprvé představena H. Huygensem v roce 1692 .

Rovnice

• V kartézské soustavě souřadnic podle definice:

$\textstyle x^{3}+y^{3}-3axy=0$

• V polární soustavě souřadnic :

$\rho ={\frac {3a\cos \varphi \sin \varphi }{\cos ^{3}\varphi +\sin ^{3}\varphi }}$ .

• Parametrická rovnice v pravoúhlém systému:

${\begin{cases}x={\frac {3ap}{1+p^{3}}}\\y={\frac {3ap^{2}}{1+p^{3}}}\end{cases}}$ kde $p=\operatorname {tg} \varphi$ .

Otočená křivka Descartesova listu

Často se znázorňuje o $135^{\circ }$otočená křivka. Její rovnice vypadají takto:

• V pravoúhlém systému:

$y=\pm x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}$ kde $l={\frac {3a}{\sqrt {2}}}$

• Parametricky:

$x=l{\frac {p^{2}-1}{3p^{2}+1}},\ y=l{\frac {p(p^{2}-1)}{3p^{2}+1}}$

• V polárních souřadnicích:

$\rho ={\frac {l\left(\sin ^{2}\varphi -\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi \left(\cos ^{2}\varphi +3\sin ^{2}\varphi \right)}}$

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Descartesův list na Wikimedia Commons